Filtre passe-tout

Les filtres passe-tout offrent un moyen simple de modifier/améliorer la réponse en phase d’un IIR sans affecter sa réponse en amplitude. En tant que tels, ils sont communément appelés égaliseurs de phase et ont trouvé une utilisation particulière dans les applications audio numériques.

Dans sa forme la plus simple, un filtre peut être construit à partir d’une fonction de transfert du premier ordre, c’est-à-dire,

\( A(z)=\Large{\frac{r+z^{-1}}{1+r z^{-1}}}  \, \,  \normalsize{; r<1} \)

En analysant \(\small A(z)\), on remarque que le pôle et le zéro se trouvent sur l’axe réel du plan z et que le pôle au rayon \(\small r\) a un zéro au rayon \(\small 1/r\), de sorte que les pôles et les zéros sont réciproques. Cette propriété est essentielle au concept de filtre passe-tout, comme nous allons le voir maintenant en élargissant le concept à un filtre passe-tout du second ordre :

\( A(z)=\Large\frac{r^2-2rcos \left( \frac{2\pi f_c}{fs}\right) z^{-1}+z^{-2}}{1-2rcos \left( \frac{2\pi f_c}{fs}\right)z^{-1}+r^2 z^{-2}} \)

Où \(\small f_c\) est la fréquence centrale, \(\small r\) est le rayon des pôles et tout \(\small f_s\) est la fréquence d’échantillonnage. Remarquez comment les coefficients du numérateur et du dénominateur sont disposés comme une paire d’images miroir l’une de l’autre. La propriété d’image miroir est ce qui donne au filtre passe-tout sa propriété souhaitable, à savoir permettre au concepteur de modifier la réponse en phase tout en gardant la réponse en magnitude constante ou plate sur l’ensemble du spectre de fréquences.

Réponse en fréquence d’un filtre passe-tout :
Remarquez le spectre à magnitude constante (en bleu).

Implémentation

Un filtre passe-tout peut être implémenté dans ASN FilterScript comme suit :

[code language=”java”]
ClearH1; // clear primary filter from cascade

interface radius = {0,2,0.01,0.5}; // radius value
interface fc = {0,fs/2,1,fs/10}; // frequency value

Main()
Num = {radius^2,-2*radius*cos(Twopi*fc/fs),1};
Den = reverse(Num); // mirror image of Num
Gain = 1;

[/code]
Pour une explication détaillée sur l’égalisation de phase des filtres IIR, et l’outil de conception APF (filtre passe-tout) du concepteur de filtres ASN, veuillez vous référer à l’article suivant.

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